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L’énigme du jour de Pâques

Refaire les calculs qui aboutissent à la détermination du jour de Pâques 2018

Article mis en ligne le 31 mars 2018
dernière modification le 3 avril 2018

par Lerautal
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Le résultat est facile à vérifier.
Mais la démarche, assez complexe, est un bon exercice de concentration et d’organisation mentale.

1. Quand l’astronomie rencontre une fête religieuse

Rappelez-vous. C’était du temps de vos arrière, arrière, arrière....
Disons plus de 1500 ans.
L’Empire romain était encore puissant et la Chrétienté s’étendait progressivement...
Communications lentes, écrits rares, on utilise beaucoup la transmission orale.

Et il se produit ce que connaissent bien les musiciens traditionnels, qui pratiquent la transmission orale :
L’un joue "ploum-ploum-tralala".
Un autre écoute, d’une oreille trop distraite, et il joue "Tagada-Tsoitsoin" à l’arrivée.

Conséquences pour les religions : des interprétations locales, des variantes.
Ce que l’on désigne par un mot : hérésie.

Au point de contrarier fortement les évêques décidés à maintenir la cohérence de l’édifice.
Malgré la difficulté des voyages, une réunion des évêques (un concile) est organisée à Nicée, en 325.
(Si le sujet vous intéresse, voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Premier_concile_de_Nic%C3%A9e).

2. Quand la Lune n’était pas seulement la "reine de nos nuits"

Pour organiser la vie matérielle (agriculture, période de travail, impôts...) les états ont utilisé divers repères accessibles à tous.
Les Égyptiens ont beaucoup utilisé les crues du Nil.
En général le Soleil et /ou la Lune servent de repères.

Le Concile de Nicée a décidé d’utiliser la Lune comme repère pour la détermination du jour de Pâques.

« Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après. »

3. Une détermination très complexe

Une lunaison (la durée d’un cycle lunaire) ne dure pas un mois.
Hélas et heureusement.
- Hélas parce qu’il serait alors facile de calculer la date du prochain jour de Pâques.
- Heureusement parce que que notre malheureux satellite, contraint de "se promener" tantôt en 28 jours, tantôt en 29, Tantôt en 30 voire en 31 tout en nous montrant toujours la même face... serait soumis à des forces qui lui nuiraient gravement.
Conséquence : il y a des années avec 12 lunaisons et d’autres avec 13 lunaisons et c’est la date du jour de Pâques qui "se promène".

"Selon cette définition, Pâques tombe entre le 22 mars et le 25 avril de chaque année." (Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_de_la_date_de_P%C3%A2ques)

Le Comput ecclésiastique (algorithme permettant de décider de la date) utilise actuellement un formulaire qui fait appel à des divisions de nombres entiers.
Le quotient est un nombre entier. Le reste est un nombre entier.
Le zéro est admis, alors qu’il était inconnu en occident au moment du concile de Nicée.

4. Le formulaire de Butcher/Meeus

Il est présenté deux fois à l’adresse https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_de_la_date_de_P%C3%A2ques

- une fois dans son principe : c’est le tableau du haut.
- une fois dans l’application à un exemple : tableau du bas avec des lettres ou chiffres en rouge.

Le calcul peut se faire en utilisant un tableur ou un langage de programmation.
Mais alors la machine fait l’essentiel du travail et l’humain curieux n’a pas la satisfaction de s’organiser, de rester assez concentré pour effectuer les calculs à la main ou avec une petite calculette.

5. L’énigme : calculer le jour de Pâques 2018

... en utilisant le formulaire et en vous inspirant de l’exemple donné (second tableau).

- Afin de vous aider un formulaire à remplir a été établi avec Libre Office Writer.
Il est accessible ici :
http://lerautal.lautre.net/journal/AAI/calculs/jour_de_Paques.odt
(Un second tableau vous permet de refaire les calculs pour une autre date).

- Vous pouvez tout aussi bien utiliser une feuille de papier et un crayon et vous organiser comme bon vous semble.

Comment répondre ?

- Soit la simple affirmation : "j’ai refait les calculs et j’y suis arrivé".
- Soit une photo en JPEG de la feuille où vous avez effectué vos calculs permettant de vérifier ceux-ci (et éventuellement de vous aider à corriger une erreur).
- Soit l’envoi par mail du formulaire complété.

PNG

A. Pourquoi commencer par une division par 19 ?

Si l’on laisse passer 235 "tours de Lune", la Terre parcourt 19 tours (par rapport au Soleil).
J’emploie volontairement des termes "flous", parce que la formulation exacte suppose que l’on définisse des termes astronomiques tels que "mois synodiques lunaires" et "année tropique".
Cette durée s’appelle le Cycle de Méton.

"Le nom cycle de Méton provient de l’astronome grec Méton qui avait déjà remarqué cette coïncidence aux environs de -432, comme le fit l’astronome chaldéen Kidinnu vers -380.
Mais des écrits cunéiformes semblent indiquer que ce cycle était déjà connu en Mésopotamie dès le VIe siècle av. J.-C. et était utilisé pour prédire les éclipses."

Cité depuis : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cycle_m%C3%A9tonique

B. Effectuer les calculs en langage de programmation Python

Voici le code d’un programme qui a été trouvé par "Mossoft", informaticien et excellent "trouveur" d’information sur le "net".

(Remarques sur la syntaxe du langage :
// réalise une division entière.
exemple : 13 // 4 donne 3
% donne le reste d’une division entière.
13 % 4 donne 1 )

from datetime import date

def calc_easter(self, year):
   "Returns Easter as a date object."
   a = year % 19
   b = year // 100
   c = year % 100
   d = (19 * a + b - b // 4 - ((b - (b + 8) // 25 + 1) // 3) + 15) % 30
   e = (32 + 2 * (b % 4) + 2 * (c // 4) - d - (c % 4)) % 7
   f = d + e - 7 * ((a + 11 * d + 22 * e) // 451) + 114
   month = f // 31
   day = f % 31 + 1    
   return date(year, month, day)

(Remarque : l’auteur du code a choisi ses propres lettres pour désigner les variables. URL : https://code.activestate.com/recipes/576517-calculate-easter-western-given-a-year/ )

C. Une page proposant divers algorithmes remarquables

Toujours retrouvée par Mossoft, cette page commence par une citation de Donald Knuth, auteur d’un recensement des principaux algorithmes.

“There are many indications that the sole important application of arithmetic in Europe during the Middle Ages was the calculation of Easter date, and so such algorithms are historically significant.”

Soit :
"Il y a beaucoup d’indications que la seule application importante de l’arithmétique en Europe au Moyen Age était le calcul de la date de Pâques, et donc de tels algorithmes sont historiquement significatifs."

Voir cette page (en anglais).
http://www.linuxtopia.org/online_books/programming_books/python_programming/python_ch38.html

Sur Donald Knuth, personnage essentiel du développement de l’informatique, lire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth


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